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  最新版2019-2020年北师大版九年级数学上册思维特训四有答案:与四边形有关的变换问题-精编试题_初三数学_数学_初中教育_教育专区。精品试题 思维特训(四) 与四边形有关的变换问题 轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换,这些变换往往与特殊的平行四边形相结合, 解决相关问题,需要注意图形变换的特征与特殊平行四边形性质的综合应用,还

  精品试题 思维特训(四) 与四边形有关的变换问题 轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换,这些变换往往与特殊的平行四边形相结合, 解决相关问题,需要注意图形变换的特征与特殊平行四边形性质的综合应用,还要注意特殊 三角形的性质、勾股定理及全等三角形相关知识的渗透. 类型一 与轴对称相关的问题 1.如图 4-S-1,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5,点 E,F,G,H 分别在矩形 ABCD 各边上,且 AE=CG,BF=DH,则四边形 EFGH 周长的最小值为( ) A.5 5 B.10 5 C.10 3 D.15 3 图 4-S-1 2.如图 4-S-2 所示,在矩形 ABCD 中,∠DAC=65°,E 是 CD 上一点,BE 交 AC 于点 F,将△BCE 沿 BE 折叠,点 C 恰好落在 AB 边上的点 C′处,则∠AFC′=________. 图 4-S-2 3.如图 4-S-3,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动,设 AP=x,现将纸片折叠,使点 D 与点 P 重合,得折痕 EF(点 E,F 为折痕与矩形边的交点), 再将纸片还原. 精品试题 (1)当 x=0 时,折痕 EF 的长为________;当点 E 与点 A 重合时,折痕 EF 的长为________. (2)请写出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围,并求出当 x=2 时菱形的边长. 图 4-S-3 类型二 与平移相关的问题 4.已知:如图 4-S-4,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,P 为正方形 AD 边 上的一点(不与点 A,D 重合),将正方形纸片折叠,使点 B 落在点 P 处,点 C 落在点 G 处, PG 交 DC 于点 H,折痕为 EF,连接 BP,BH. (1)求证:∠APB=∠BPH; (2)当点 P 在边 AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论. 图 4-S-4 5.如图 4-S-5,将△ABC 沿着射线 BC 方向平移至△A′B′C′,使点 A′落在 ∠ACB 的外角平分线 CD 上,连接 AA′. (1)判断四边形 ACC′A′的形状,并说明理由; AB 12 (2)在△ABC 中,∠B=90°,AB=24,AC=13,求 CB′的长. 精品试题 图 4-S-5 6.如图 4-S-6①,BD 是矩形 ABCD 的对角线.将△BCD 沿射线 BD 方向平移到△B′C′D′的位置,使 B′为 BD 的中点,连接 AB′,C′D,AD′, BC′,如图②. (1)求证:四边形 AB′C′D 是菱形; (2)四边形 ABC′D′的周长为________; (3)将四边形 ABC′D′沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相 等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形的周长. 图 4-S-6 精品试题 类型三 与旋转相关的问题 7.如图 4-S-7,将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG,点 E 在 AD 上,延长 ED 交 FG 于点 H. (1)求证:△EDC≌△HFE. (2)连接 BE,CH. ①四边形 BEHC 是怎样的特殊四边形?证明你的结论; ②当 AB 与 BC 的比值为________时,四边形 BEHC 为菱形. 图 4-S-7 8.问题情境: 两张矩形纸片 ABCD 和 CEFG 完全相同,且 AB=CE,AD>AB. 操作发现: (1)如图 4-S-8①,点 D 在 GC 上,连接 AC,CF,EG,AG,则 AC 和 CF 有何数 精品试题 量关系和位置关系?并说明理由. 实践探究: (2)如图②,将图①中的纸片 CEFG 以点 C 为旋转中心逆时针旋转,当点 D 落在 GE 上时停止旋转,则 AG 和 GF 在同一条直线上吗?并说明理由. 图 4-S-8 精品试题 详解详析 1.B [解析]如图,作点 E 关于 BC 的对称点 E′,连接 E′G 交 BC 于点 F.过点 G 作 GG′⊥AB 于点 G′.∵AE=CG,BE=BE′,∴E′G′=AB=10. ∵GG′=AD=5,∴E′G= E′G′2+GG′2=5 5. ∴四边形 EFGH 周长的最小值=2E′G=10 5.故选 B. 2.40° [解析]∵在矩形 ABCD 中,∠DAC=65°,∴∠ACD=90°-∠DAC=90° -65°=25°. ∵将△BCE 沿 BE 折叠,点 C 恰好落在 AB 边上的点 C′处,∴四边形 BCEC′是正方 形, ∴∠BEC=45°. 由三角形外角的性质,得∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°, 由翻折的性质得∠BFC′=∠BFC=70°, ∴∠AFC′=180°-∠BFC-∠BFC′=180°-70°-70°=40°. 3.[解析] (1)当 x=0 时,点 P 与点 A 重合,则折痕 EF 为 AD 的中垂线,满足 EF∥AB∥CD; 当点 E 与点 A 重合时,折痕 EF 为∠DAB 的平分线,从而构造出等腰直角三角形,利用勾 股定理求出 EF 的长.(2)要探究四边形 EPFD 为菱形,必须始终满足对角线互相平分且 DP⊥EF,同时对角线,从而确定 AP 的取值范围;当 x=2 时构造出 Rt△ADE,借助勾股定理列出方程解出 x 的值. 解:(1)当 x=0 时,折痕 EF∥AB∥CD, ∴EF=AB=3; 精品试题 当点 E 与点 A 重合时,折痕 EF 为等腰直角三角形 DEF 的斜边,则 EF 的长为 2. 故填:3, 2 (2)要使四边形 EPFD 为菱形,必须始终满足对角线互相平分且 DP⊥EF,同时对角线,故 AP 的取值范围为 1≤x≤3. 当 x=2 时,如图,连接 DE,PF.∵EF 为折痕,∴DE=PE,设 PE=m,则 AE=2-m. 在 Rt△ADE 中,AD2+AE2=DE2, 5 5 即 1+(2-m)2=m2,解得 m=4,故此时菱形的边长为4. 4.解:(1)证明:由折叠知 PE=BE, ∴∠EBP=∠EPB. ∵∠EPH=∠EBC=90°,∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠BPH=∠PBC. ∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC, ∴∠APB=∠BPH. (2)△PDH 的周长不变,为定值 8. 证明:如图,过点 B 作 BQ⊥PH,垂足为 Q. 由(1)知∠APB=∠BPH. 在△ABP 和△QBP 中, ∠APB=∠BPH,∠A=∠BQP,BP=BP, ∴△ABP≌△QBP(AAS), ∴AP=QP,AB=BQ. 又∵AB=BC,∴BC=BQ. 精品试题 又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH, ∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL),∴CH=QH. ∴△PDH 的周长为 PD+DH+PH=AP+PD+DH+CH=AD+CD=8. 5.解:(1)四边形 ACC′A′是菱形.理由如下:由平移的性质得到 AC∥A′C′, 且 AC=A′C′, 则四边形 ACC′A′是平行四边形, ∴∠ACC′=∠AA′C′. ∵CD 平分∠ACB 的外角,即 CD 平分∠ACC′,∴CD 也平分∠AA′C′, ∴四边形 ACC′A′是菱形. AB 12 24 12 (2)∵在△ABC 中,∠B=90°,AB=24,AC=13,即AC=13,∴AC=26. 由勾股定理知 BC= AC2-AB2=10. 又由(1)知,四边形 ACC′A′是菱形, ∴AA′=AC=26. 由平移的性质得到 AB∥A′B′,AB=A′B′,则四边形 ABB′A′是平行四边形, ∴BB′=AA′=26,∴CB′=BB′-BC=26-10=16. 6.解:(1)证明:∵BD 是矩形 ABCD 的对角线°. 由 平 移 可 得 B′C′ = BC = AD , ∠ D ′ B ′ C ′ = ∠ DBC = ∠ ADB = 60 ° , ∴ AD∥B′C′,∴四边形 AB′C′D 是平行四边形. ∵B′为 BD 的中点, 精品试题 1 ∴在 Rt△ABD 中,AB′=2BD=DB′. ∵∠ADB=60°,∴△ADB′是等边三角形, ∴AD=AB′,∴四边形 AB′C′D 是菱形. (2)由平移可得 AB=C′D′,∠ABD′=∠C′D′B=30°,∴AB∥C′D′,∴四 边形 ABC′D′是平行四边形.又由(1)可得 AC′⊥B′D,∴四边形 ABC′D′是菱形. ∵AB= 3AD= 3, ∴四边形 ABC′D′的周长为 4 3. 故答案为 4 3. (3)将四边形 ABC′D′沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相 等的矩形如下: ∴矩形的周长为 6+ 3或 2 3+3. 7.解:(1)证明:∵矩形 FECG 是由矩形 ABCD 旋转得到的,∴EF=AB=CD,∠F =∠EDC=90°,FH∥EC, ∴∠FHE=∠CED. 在△EDC 和△HFE 中, ∠EDC=∠F,∠CED=∠FHE,CD=EF, ∴△EDC≌△HFE. (2)①四边形 BEHC 为平行四边形. 证明:∵△EDC≌△HFE,∴EC=EH. 精品试题 ∵矩形 FECG 是由矩形 ABCD 旋转得到的,∴EH=EC=BC,EH∥BC,∴四边形 BEHC 为平行四边形. ②如图,连接 BE,CH. ∵四边形 BEHC 为菱形, ∴BE=BC. 由旋转的性质可知 BC=EC, ∴BE=EC=BC,∴△EBC 为等边三角形, ∴∠EBC=60°,∴∠ABE=30°, ∴AB∶BE= 3∶2. 3 又∵BE=BC,∴AB 与 BC 的比值为 2 . 8.解:(1)AC=CF,AC⊥CF.理由如下: ∵矩形纸片 ABCD 和 CEFG 完全相同,且 AB=CE, ∴BC=EF,∠B=∠CEF=90°. 在△ABC 和△CEF 中, AB=CE,∠B=∠CEF,BC=EF, ∴△ABC≌△CEF(SAS), ∴AC=CF,∠ACB=∠CFE. ∵在 Rt△CEF 中,∠CFE+∠ECF=90°, ∴∠ACB+∠ECF=90°, 精品试题 ∴∠ACF=∠BCD+∠ECG-(∠ACB+∠ECF)=90°+90°-90°=90°, ∴AC⊥CF. (2)AG 和 GF 在同一条直线上.理由如下: ∵矩形纸片 ABCD 和 CEFG 完全相同,且 AB=CE, ∴AD=GC,∠ADC=∠GCE=90°,CD=CE, ∴△ACD≌△GEC(SAS),∠CDE=∠DEC, ∴∠ACD=∠GEC,AC=GE,∴∠ACD=∠CDE,∴GE∥AC, ∴四边形 ACEG 是平行四边形,∴AG∥CE. 又∵在矩形 CEFG 中,GF∥CE,∴AG 和 GF 在同一条直线上.(过直线外一点有且只 有一条直线与已知直线平行)


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